Question

19．如圖，已知平面α∩平面β=l，α⊥β．A、B是直線l上的兩點，C、D是平面β內(nèi)的兩點，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8．P是平面α上的一動點，且有∠APD=∠BPC，則四棱錐P-ABCD體積的最大值是（　�。�

• A． 48
• B． 16
• C． $24\sqrt{3}$
• D． 144

Answer 1

分析 由面面垂直的性質(zhì)可得AD⊥PA，BC⊥PB，由∠APD=∠BPC可知PB=2PA，在平面α內(nèi)建立坐標(biāo)系求出P點的軌跡，得出P到直線l的最大距離，得出棱錐的最大體積．

解答 解：∵平面α∩平面β=l，α⊥β，DA⊥l，CB⊥l，DA?平面β，CB?平面β，
∴DA⊥平面α，CB⊥平面α，
∵PA?平面α，PB?平面α，
∴DA⊥PA，CB⊥PB．
∵∠APD=∠BPC，
∴$\frac{DA}{PA}=\frac{BC}{PB}$，即$\frac{4}{PA}=\frac{8}{PB}$，∴PB=2PA．
以直線l為x軸，AB的中點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（-3，0），B（3，0）．設(shè)P（x，y），則PA=$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$，PB=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，
∴2$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，整理得（x+5）²+y²=16（y＞0）．
∴P點的軌跡為以（-5，0）為圓心，以4為半徑的半圓．
∴當(dāng)P到直線l的距離h=4時，四棱錐P-ABCD體積取得最大值．
∴棱錐的體積最大值為V=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（4+8）×6×4$=48．
故選：A．

點評 本題考查了面面垂直的性質(zhì)，軌跡方程，棱錐的體積計算，屬于中檔題．