Question

4．如圖，在棱長為a（a＞0）的正四面體ABCD中，點B₁，C₁，D₁分別在棱AB，AC，AD上，且平面B₁C₁D₁∥平面BCD，A₁為△BCD內(nèi)一點，記三棱錐A₁-B₁C₁D₁的體積V，設(shè)$\frac{A{D}_{1}}{AD}$=x，對于函數(shù)V=f（x），則（　�。�

• A． 當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時，函數(shù)f（x）取到最大值
• B． 函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上是減函數(shù)
• C． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱
• D． 存在x₀，使得f（x₀）$＞\frac{1}{3}{V}_{A-BCD}$（其中V_A-BCD為四面體ABCD的體積）

Answer 1

分析 由題意求出平面B₁C₁D₁的面積，求出平面B₁C₁D₁與平面BCD的距離，代入三棱錐體積公式求得函數(shù)V=f（x），然后利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間和最值，逐一核對四個選項得答案．

解答 解：如圖，∵四面體ABCD是棱長為a的正四面體，
∴頂點A在底面的射影為底面正三角形的中心，設(shè)為O，
則BO為正三角形BCD底邊CD中線的$\frac{2}{3}$，即BO=$\frac{2}{3}×\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴正四面體的高為h=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
∵平面B₁C₁D₁∥平面BCD，∴△B₁C₁D₁∽△BCD，
又$\frac{A{D}_{1}}{AD}$=x，∴$\frac{{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}}{{S}_{△BCD}}={x}^{2}$，
又${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
∴${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}{x}^{2}$，
設(shè)A到平面B₁C₁D₁的距離為h′，由$\frac{h′}{h}=x$，得$h′=\frac{\sqrt{6}}{3}ax$，
∴平面B₁C₁D₁與平面BCD間的距離，即A₁到平面B₁C₁D₁的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}a（1-x）$．
則V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}{x}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a（1-x）$=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{2}（{x}^{2}-{x}^{3}）$（0＜x＜1），
V′=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{2}（2x-3{x}^{2}）$，由V′=0，得x=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{2}{3}$）時，V′＞0，當(dāng)x∈（$\frac{2}{3}，1$）時，V′＜0，
∴當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時，V有最大值等于$\frac{\sqrt{2}}{81}{a}^{2}$．．
故A正確，B，C錯誤，
又$\frac{1}{3}{V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$，
∴不存在x₀，使得f（x₀）$＞\frac{1}{3}{V}_{A-BCD}$，D錯誤．
故選：A．

點評 本題考查棱錐體積的求法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．