Question

2．已知（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（a∈R，n∈N^*）展開式的前三項二項式系數(shù)之和為16，所有項的系數(shù)之和為1．
（1）求n和a的值；
（2）展開式中是否存在常數(shù)項？若有，求出常數(shù)項；若沒有，請說明理由；
（3）求展開式中二項式系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 （1）求出二項式的前三項，解方程可得n=5，再令x=1，可得所有項的系數(shù)之和，解方程可得a；
（2）求出二項式的通項公式，化簡合并，可令指數(shù)冪為0，解方程即可判斷存在性；
（3）由n為奇數(shù)，可得中間項有兩項的二項式系數(shù)最大，運用通項公式計算即可得到所求．

解答 解：（1）（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（a∈R，n∈N^*）展開式的前三項二項式系數(shù)之和為16，
可得${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$=16，即為1+n+$\frac{1}{2}$n（n-1）=16，
解得n=5（-6舍去）；
由所有項的系數(shù)之和為1，可令x=1，可得
（a-1）ⁿ=1，即為（a-1）⁵=1，解得a=2，
則n=5，a=2；
（2）（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$（2x）^5-r（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^r（r=0，1，2，3，4，5）
=${C}_{5}^{r}$2^5-r（-1）^rx${\;}^{5-\frac{3}{2}r}$，
令5-$\frac{3}{2}$r=0，即3r=10，r=$\frac{10}{3}$不為正整數(shù)，
則展開式中不存在常數(shù)項；
（3）由于n=5，（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵展開式共有6項，
則展開式中二項式系數(shù)最大的項為T₃和T₄，
即為T₃=${C}_{5}^{2}$2^5-2（-1）²x²=80x²，
T₄=${C}_{5}^{3}$2^5-3（-1）³x${\;}^{\frac{1}{2}}$=-40x${\;}^{\frac{1}{2}}$．

點評 本題考查二項式定理的運用：求指定項和二項式系數(shù)最大項，注意運用二項式的展開式的通項公式，考查方程思想和化簡整理的運算能力，屬于中檔題．