已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C上的動點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點，試探究橢圓C上是否存在點P，由點P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（1）根據(jù)短軸一個端點到右焦點的距離為3求出a，然后根據(jù)離心率求出b，最后根據(jù)a、b、c關系求出b，從而求出橢圓的標準方程；
（2）設P點坐標為（x，y），若∠APB=90°，則有|OA|=|AP|，建立關于x和y的一個方程，然后根據(jù)P（x，y）在橢圓上，建立第二個方程，解之即可求出所求．
解答：解：（1）設橢圓的半焦距為c，依題意
∴b=2，∴所求橢圓方程為
（2）如圖，設P點坐標為（x，y），
若∠APB=90°，則有|OA|=|AP|．
即
有
兩邊平方得x2+y2=8①
又因為P（x，y）在橢圓上，所以4x2+9y2=36②
①，②聯(lián)立解得
所以滿足條件的有以下四組解，，，
所以，橢圓C上存在四個點，，，，
分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直．
點評：本題考查了橢圓的標準方程與圓、直線與圓錐曲線的位置關系，以及圓的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，此題是個難題．
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科目：高中數(shù)學 來源：2013年四川省資陽市高考數(shù)學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過（1，1）與（，）兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，橢圓C上一點M滿足|MA|=|MB|．求證：++為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年陜西省高考數(shù)學壓軸卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2線與圓x2+y2=b2相切于點A，并與橢圓C交與不同的兩點P，Q，如圖，PF1⊥PQ，若A為線段PQ的靠近P的三等分點，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年吉林省高考數(shù)學仿真模擬試卷9（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），直線l為圓O：x2+y2=b2的一條切線，記橢圓C的離心率為e．
（1）若直線l的傾斜角為，且恰好經(jīng)過橢圓的右頂點，求e的大�。�
（2）在（1）的條件下，設橢圓的上頂點為A，左焦點為F，過點A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點，過A、B、F三點的圓恰好與直線l：x+y+3=0相切，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高考數(shù)學總復習備考綜合模擬試卷（3）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），直線l為圓O：x2+y2=b2的一條切線，記橢圓C的離心率為e．
（1）若直線l的傾斜角為，且恰好經(jīng)過橢圓的右頂點，求e的大�。�
（2）在（1）的條件下，設橢圓的上頂點為A，左焦點為F，過點A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點，過A、B、F三點的圓恰好與直線l：x+y+3=0相切，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年四川省攀枝花市高三12月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，且在x軸上的頂點分別為

（1）求橢圓方程；

（2）若直線：與軸交于點T，P為上異于T的任一點，直線分別與橢圓交于M、N兩點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結論.

 

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