Question

11．已知函數$f（x）=x-\frac{1}{x^m}，x∈（{0，+∞}）$，且$f（2）=\frac{3}{2}$
（1）求f（x）的解析式，并判斷函數的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在其定義域（0，+∞）上的單調性，并用單調性的定義證明；
（3）解不等式：$f（{3^{x-2}}-1）＜f（{9^{\frac{x}{3}}}-1）$．

Answer 1

分析 （1）由題意：$f（2）=\frac{3}{2}$，代入計算求函數f（x）解析式；根據奇偶性的性質判斷即可．
（2）利用定于法證明即可．
（3）根據（2）的單調性的性質，利用其解不等式．

解答 解：（1）由題意：$f（2）=\frac{3}{2}$，
所以有：$f（2）=2-\frac{1}{{2}^{m}}$=$\frac{3}{2}$．
解得m=1．
∴f（x）的解析式$f（x）=x-\frac{1}{x}$．
∵x∈（0，+∞），沒有關于原點對稱，
∴f（x）是非奇非偶函數．
（2）f（x）在其在定義域（0，+∞）上為增函數；
證明：對0＜x₁＜x₂，
有$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（{x_2}-\frac{1}{x_2}）-（{x_1}-\frac{1}{x_1}）=\frac{{（{{x_2}-{x_1}}）•（1+{x_2}{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數；
（3）由（2）可知f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數；
$f（{3^{x-2}}-1）＜f（{9^{\frac{x}{3}}}-1）$等價于$0＜{3^{x-2}}-1＜{9^{\frac{x}{3}}}-1$
即$\left\{\begin{array}{l}{3^{x-2}}＞1\\{3^{x-2}}＜{9^{\frac{x}{3}}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}x-2＞0\\ x-2＜\frac{2x}{3}\end{array}\right.$，
解得：2＜x＜6．
故不等式的解集為（2，6）

點評 本題考查了函數的基本性質的運用能力和化簡計算能力．屬于基礎題．