Question

20．若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈內(nèi)的某個(gè)區(qū)間I上是增函數(shù)，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在I上也是增函數(shù)，則稱y=f（x）是I上的“完美函數(shù)”，已知g（x）=e^x+x-lnx+1，若函數(shù)g（x）是區(qū)間[$\frac{m}{2}$，+∞）上的“完美函數(shù)”，則正整數(shù)m的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）=e^x+x-lnx+1，與G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上都是單調(diào)遞增函數(shù)，再由新定義即可求整數(shù)m的最小值．

解答 解：∵g（x）=e^x+x-lnx+1，x＞0，
∴g′（x）=e^x+1-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）單調(diào)遞增，g′（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-1＞0，
∴可以得出：g（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是單調(diào)遞增．
∵G（x）=$\frac{{e}^{x}+x-lnx+1}{x}$，
∴G′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+lnx-2}{{x}^{2}}$，x＞0，
設(shè)m（x）=xe^x-e^x-2+lnx，
m′（x）=xe^x+$\frac{1}{x}$＞0，m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
m（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$$\sqrt{e}$-2-ln2＜0，m（1）=e-e-2+0=-2＜0，
m（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{3}{2}}$-2+ln（$\frac{3}{2}$）＞0，
∴在[$\frac{3}{2}$，+∞）上，有G′（x）＞0成立，
∴函數(shù)G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
綜合判斷：g（x）=e^x+x-lnx+1，與G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上都是單調(diào)遞增函數(shù)，
g（x）=e^x+x-lnx+1，與G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[1，+∞）上不是都為單調(diào)遞增函數(shù)，
∵函數(shù)g（x）是區(qū)間[$\frac{m}{2}$，+∞）上的“完美函數(shù)”，
∴m≥3，
即整數(shù)m最小值為3．
故選C．

點(diǎn)評 本題以新定義的形式考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)用所學(xué)知識分析解決新問題的能力，多次構(gòu)造函數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)遞增，屬于難題．