Question

設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.

（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若為整數(shù)，若時(shí)，恒成立，試求的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）的單調(diào)減區(qū)間是：，增區(qū)間是：；（3）整數(shù)k的最大值為2.

【解析】

試題分析：（1）時(shí)，，求導(dǎo)函數(shù)得，可得切線方程；（2）,當(dāng)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，通過(guò)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若時(shí)，恒成立，只需的最小值即可，，又在單調(diào)遞增，而，知在存在唯一的零點(diǎn)，故在存在唯一的零點(diǎn)且，得.可得整數(shù)k的最大值為2.

【解析】
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719581827444149/SYS201411171958234933831047_DA/SYS201411171958234933831047_DA.005.png">時(shí)，，所以，

故切線方程是

（2）的定義域?yàn)镽，，

若在上單調(diào)遞增；

若解得，

當(dāng)變化時(shí)，變化如下表：

	減	極小值	增

 

所以的單調(diào)減區(qū)間是：，增區(qū)間是：．

（3）即 ① ，

令則．

由（1）知，函數(shù)在單調(diào)遞增，而，

所以在存在唯一的零點(diǎn)，故在存在唯一的零點(diǎn)，

且．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以

．

又由，即得，所以，

這時(shí)．

由于①式等價(jià)，故整數(shù)k的最大值為2.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.