Question

4．求適合下列條件的直線方程：
（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，2），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；
（2）直線過(guò)點(diǎn)（-3，4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12；
（3）直線過(guò)點(diǎn)（5，10），且到原點(diǎn)的距離為5．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分2種情況討論：①、當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都等于0時(shí)，用點(diǎn)斜式求出直線l的方程，②、當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不等于0時(shí)，可以設(shè)直線l的方程為x+y-a=0，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得a的值，即可得此時(shí)直線的方程；綜合可得答案．
（2）由題意設(shè)所求直線方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，代入點(diǎn)可得關(guān)于ab的方程，聯(lián)立可解得ab，即可得方程．
（3）當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，方程為x-5=0，滿足到原點(diǎn)的距離為5；當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)方程為y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得k的方程，解方程可得．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分兩種情況討論：
①、當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都等于0時(shí)，
直線過(guò)點(diǎn)（3，2），則其斜率k=$\frac{2}{3}$，
則直線的方程為y=$\frac{2}{3}$x，即2x-3y=0；
②當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不等于0時(shí)，設(shè)該直線的方程為x+y-a=0，
直線過(guò)點(diǎn)（3，2），將其代入直線方程可a=5，
則直線方程為x+y-5=0；
綜合可得：過(guò)點(diǎn)（3，2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為2x-3y=0或x+y-5=0．
（2）由題意設(shè)所求直線方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，因?yàn)辄c(diǎn)P（-3，4）在直線上，
則有$\frac{-3}{a}+\frac{4}$=1，又a+b=12，兩方程聯(lián)立解得a=9，b=3或a=-4，b=16，
故所求直線的方程為：x+3y-9=0，或4x-y+16=0；
（3）當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，方程為x-5=0，滿足到原點(diǎn)的距離為5；
當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)方程為y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得$\frac{|10-5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直線的方程為：3x-4y+25=0
綜合可得所求直線的方程為：x-5=0或3x-4y+25=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的截距式方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，涉及分類(lèi)討論的思想，注意理解截距的定義，容易忽略截距為0即直線過(guò)原點(diǎn)的情況．