8.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=-an2+2an,n∈N*,且a1=0.9,令bn=lg(1-an);
(1)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{$\frac{1}{b_n}$}各項(xiàng)和.

分析 (1)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=-an2+2an,n∈N*,變形為1-an+1=$({a}_{n}-1)^{2}$,兩邊取對(duì)數(shù)可得:lg(1-an+1)=2lg(1-an),可得:bn+1=2bn.即可證明.
(2)由(1)可得:bn=-2n-1.$\frac{1}{_{n}}$=-$(\frac{1}{2})^{n-1}$.再利用無(wú)窮等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 (1)證明:∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=-an2+2an,n∈N*,
∴1-an+1=$({a}_{n}-1)^{2}$,且a1=0.9,1-a1=0.1.
對(duì)1-an+1=$({a}_{n}-1)^{2}$兩邊取對(duì)數(shù)可得:lg(1-an+1)=2lg(1-an),
∵bn=lg(1-an),∴bn+1=2bn
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,公比為2,首項(xiàng)為-1.
(2)解:由(1)可得:bn=-2n-1
$\frac{1}{_{n}}$=-$(\frac{1}{2})^{n-1}$.
∴數(shù)列{$\frac{1}{b_n}$}各項(xiàng)和=$\frac{\frac{1}{_{1}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{-1}{1-\frac{1}{2}}$=-2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列通項(xiàng)公式、無(wú)窮等比數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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