Question

8．已知數列{a_n}滿足a_n+1=-a_n²+2a_n，n∈N^*，且a₁=0.9，令b_n=lg（1-a_n）；
（1）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{$\frac{1}{b_n}$}各項和．

Answer 1

分析 （1）數列{a_n}滿足a_n+1=-a_n²+2a_n，n∈N^*，變形為1-a_n+1=$（{a}_{n}-1）^{2}$，兩邊取對數可得：lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n），可得：b_n+1=2b_n．即可證明．
（2）由（1）可得：b_n=-2^n-1.$\frac{1}{_{n}}$=-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．再利用無窮等比數列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵數列{a_n}滿足a_n+1=-a_n²+2a_n，n∈N^*，
∴1-a_n+1=$（{a}_{n}-1）^{2}$，且a₁=0.9，1-a₁=0.1．
對1-a_n+1=$（{a}_{n}-1）^{2}$兩邊取對數可得：lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n），
∵b_n=lg（1-a_n），∴b_n+1=2b_n．
∴數列{b_n}是等比數列，公比為2，首項為-1．
（2）解：由（1）可得：b_n=-2^n-1．
$\frac{1}{_{n}}$=-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴數列{$\frac{1}{b_n}$}各項和=$\frac{\frac{1}{_{1}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{-1}{1-\frac{1}{2}}$=-2．

點評 本題考查了數列遞推關系、數列通項公式、無窮等比數列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．