Question

【題目】如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，EA⊥底面ABCD，F(xiàn)D∥EA，且 ．
（Ⅰ）記線段BC的中點為K，在平面ABCD內(nèi)過點K作一條直線與平面ECF平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．
（Ⅱ）求直線EB與平面ECF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取線段CD的中點Q，連結(jié)KQ，直線KQ即為所求． 如圖所示：

（Ⅱ）以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖．
由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1），
∴ ， ， ，

設(shè)平面ECF的法向量為 ，
由 ，得 ，
取y=1，得平面ECF的一個法向量為 ，
設(shè)直線EB與平面ECF所成的角為θ，
∴sinθ=|cos＜ ＞|=| |=
【解析】（Ⅰ）取線段CD的中點Q，連結(jié)KQ，直線KQ即為所求；（Ⅱ）以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立空間直角坐標系，由已知可得A，E，B，C，F(xiàn)的坐標，進一步求出平面ECF的法向量及 ，設(shè)直線EB與平面ECF所成的角為θ，則sinθ=|cos＜ ＞|=| |= ．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．