1．用數(shù)學歸納法證明（x+1）n+1+（x+2）2n-1（n∈N*）能被x2+3x+3 整除．

分析 驗證n=1時命題成立，假設(shè)n=k時命題成立，然后利用歸納假設(shè)證明n=k+1時命題成立得答案．

解答 證明：（1）當n=1時，（x+1）n+1+（x+2）2n-1=（x+1）2+（x+2）=x2+3x+3，能被x2+3x+3 整除，命題成立；
（2）假設(shè)當n=k時，（x+1）k+1+（x+2）2k-1能被x2+3x+3 整除，
那么，當n=k+1時，（x+1）（k+1）+1+（x+2）2（k+1）-1=（x+1）（x+1）k+1+（x+2）2（x+2）2k-1
=（x+1）（x+1）k+1+（x+1）（x+2）2k-1-（x+1）（x+2）2k-1+（x+2）2（x+2）2k-1
=（x+1）[（x+1）k+1+（x+2）2k-1]+（x2+3x+3）（x+2）2k-1，
∵（x+1）k+1+（x+2）2k-1和x2+3x+3都能被x2+3x+3 整除，
這就是說，當n=k+1時，（x+1）（k+1）+1+（x+2）2（k+1）-1也能被x2+3x+3 整除．
根據(jù)（1）和（2）可知，命題對任何n∈N*都成立．

點評 本題考查利用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，關(guān)鍵是歸納假設(shè)的運用，是中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=2，anan+1=2（Sn+1）（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn=$\frac{1}{{a}_{n}\sqrt{{a}_{n-1}}+{a}_{n-1}\sqrt{{a}_{n}}}$（n≥2，n∈N*），數(shù)列{bn}前n項和為Tn；
（3）若數(shù)列{cn}滿足lgc1=$\frac{1}{3}$，lgcn=$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n}}$（n≥2，n∈N*），試問是否存在正整數(shù)p，q，（其中1＜p＜q），使c1，cp，cq成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q），若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．已知二階矩陣M有特征值λ=8及其對應的一個特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，并且矩陣M對應的變換將點A（-1，2）變換成A′（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）設(shè)直線l在M-1對應的變換作用下得到了直線m：x-y=6，求l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．已知a=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}-\sqrt{5}$，要比較a與b的大小，某同學想到了用斜率的方法，即將a，b改寫為a=$\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{3-2}$，b=$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{5}}}{6-5}$，通過畫圖，利用斜率發(fā)現(xiàn)了它們的大小關(guān)系．若c=$\root{3}{3}-\root{3}{2}$，d=$\root{3}{6}-\root{3}{5}$，則c＞ d．（在“＜，=，＞”中選一個填空）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosωx，1），$\overrightarrow$=（sinωx，cos2ωx-$\frac{1}{2}$）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，若函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸與它相鄰的一個對稱中心的距離為$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的表達式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，再將各點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

6．關(guān)于x方程sinx+$\sqrt{3}$cosx+k=0（k∈R）在（0，2π）內(nèi)有兩個相異的實數(shù)解α，β，則 α+β的值為$\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．過曲線C：y=ex上一點P0（0，1）作曲線C的切線l0交x軸于點Q1（x1，0），又過Q1作x軸的垂線交曲線C于點P1（x1，y1），然后再過P1（x1，y1）作曲線C的切線l1交x軸于點Q2（x2，0），又過Q2作x軸的垂線交曲線C于點P2（x2，y2），…，以此類推，過點Pn的切線ln與x軸相交于點
Qn+1（xn+1，0），再過點Qn+1作x軸的垂線交曲線C于點Pn+1（xn+1，yn+1）（n∈N*）．
（1）求x1、x2及數(shù)列{xn}的通項公式；
（2）設(shè)曲線C與切線ln及直線Pn+1Qn+1所圍成的圖形面積為Sn，求Sn的表達式；
（3）在滿足（2）的條件下，若數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn，求證：$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$＜$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$（n∈N+）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

10．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn+yn能被x+y整除”的第二步是（　　）
A．證明假設(shè)n=k（k≥1且k∈N）時正確，可推出n=k+1正確
B．證明假設(shè)n=2k+1（k≥1且k∈N）時正確，可推出n=2k+3正確
C．證明假設(shè)n=2k-1（k≥1且k∈N）時正確，可推出n=2k+1正確
D．證明假設(shè)n≤k（k≥1且k∈N）時正確，可推出n=k+2時正確

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

11．若曲線f（x）=x（x-m）2在x=1處取得極小值，則m的值是1．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案