Question

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）
（1）存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點
（2）如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
（3）直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
（4）存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：（1）令y=x+

1

2

，可知它不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點，可判斷本命題正確；
（2）若k=

2

，b=

2

，易知直線y=

2

x+

2

經(jīng)過（-1，0），可判斷本命題錯誤；
（3）設(shè)y=kx為過原點的直線，若此直線l過不同的整點（x₁，y₁）和（x₂，y₂），可分析得到直線l經(jīng)過無窮多個整點，反之，也成立，所以可判斷本命題正確；
（4）令直線y=

2

x恰經(jīng)過整點（0，0），可判斷本命題正確．

解答： 解：（1）令y=x+

1

2

，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點，所以本命題正確；
（2）若k=

2

，b=

2

，則直線y=

2

x+

2

經(jīng)過（-1，0），所以本命題錯誤；
（3）設(shè)y=kx為過原點的直線，若此直線l過不同的整點（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點，
通過這種方法得到直線l經(jīng)過無窮多個整點，反之，也成立，所以本命題正確；
（4）令直線y=

2

x恰經(jīng)過整點（0，0），所以本命題正確．
綜上，命題正確的序號有：（1）（3）（5）．
故答案為：（1）（3）（5）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，深刻理解題意，恰當(dāng)舉例是關(guān)鍵，考查分析推論與運(yùn)算能力，屬于中檔題．