Question

4．已知D為圓O：x²+y²=8上的動點，過點D向x軸作垂線DN，垂足為N，T在線段DN上且滿足$|{TN}|：|{DN}|=1：\sqrt{2}$．
（1）求動點T的軌跡方程；
（2）若M是直線l：x=-4上的任意一點，以O(shè)M為直徑的圓K與圓O相交于P，Q兩點，求證：直線PQ必過定點E，并求出點E的坐標(biāo)；
（3）若（2）中直線PQ與動點T的軌跡交于G，H兩點，且$\overrightarrow{EG}=3\overrightarrow{HE}$，求此時弦PQ的長度．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求動點T的軌跡方程；
（2）設(shè)M（-4，m），則圓K方程為x（x+4）+y（y-m）=0與圓O：x²+y²=8聯(lián)立消去x²，y²得PQ的方程為4x-my+8=0，能夠證明直線PQ必過定點E，并求出點E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=8}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8}\end{array}\right.$，①，知（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），結(jié)合向量求出PQ的方程，由此入手能夠求出弦PQ的長．

解答 解：（1）設(shè)T（x，y），則|DN|=$\sqrt{2}$|TN|，
∵D為圓O：x²+y²=8上的動點，
∴x²+（$\sqrt{2}$y）²=8，
∵|DN|≠0，∴y≠0，
∴動點T的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)M（-4，m），則圓K方程為x（x+4）+y（y-m）=0
與圓O：x²+y²=8聯(lián)立消去x²，y²得PQ的方程為4x-my+8=0，
令y=0，可得x=-2，得直線PQ過定點E（-2，0）．
（3）設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=8}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8}\end{array}\right.$，①
∵$\overrightarrow{EG}=3\overrightarrow{HE}$，∴（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），即：x₁=-8-3x₂，y₁=-3y₂，
代入①解得：x₂=-$\frac{8}{3}$，y₂=±$\frac{2}{3}$（舍去正值），∴k_PQ=1，所以PQ：x-y+2=0，
從而圓心O（0，0）到直線PQ的距離d=$\sqrt{2}$，
∴PQ=2$\sqrt{8-2}$=2$\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．