Question

9．四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E，G分別是BC，PE的中點
（1）求證：AD⊥PE
（2）求二面角E-AD-G的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中點O，連結(jié)OP，OE，推導(dǎo)出OP⊥AD，OE⊥AD，由此能證明AD⊥PE．
（2）取OE的中點F，連結(jié)FG、OG，則AD⊥OG，OE⊥AD，從而∠GOE是二面角E-AD-G的平面角，由此能求出二面角E-AD-G的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，取AD中點O，連結(jié)OP，OE，
∵PA=PD，∴OP⊥AD，
又E是BC的中點，∴OE∥AB，∴OE⊥AD，
又OP∩OE=O，∴AD⊥平面OPE，
∵PE?平面OPE，∴AD⊥PE．
解：（2）取OE的中點F，連結(jié)FG、OG，則由（1）知AD⊥OG，
又OE⊥AD，∴∠GOE是二面角E-AD-G的平面角，
∵PA=PD，∠APD=60°，
∴△APD為等邊三角形，且邊長為2，
∴OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}OP=\frac{\sqrt{3}}{2}$，OF=$\frac{1}{2}CD$=1，
∴OG=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，∴cos$∠GOE=\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角E-AD-G的余弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．