已知函數(shù),數(shù)列{an}滿足:a1=a,an+1=f(an),n∈N*
(1)若對(duì)于n∈N*,均有an+1=an成立,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若對(duì)于n∈N*,均有an+1>an成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)無窮數(shù)列{bn},使其滿足下列兩個(gè)條件,并加以證明:①bn<bn+1,n∈N*;②當(dāng)a為{bn}中的任意一項(xiàng)時(shí),{an}中必有某一項(xiàng)的值為1.
【答案】分析:(1)由an+1=an,我們不難根據(jù)a1=a,an+1=f(an),得到一個(gè)關(guān)于a的方程,解方程可得a的值.
(2)由an+1>an,我們不難根據(jù)a1=a,an+1=f(an),得到一個(gè)關(guān)于a的不等式,解不等式可得a的值,再代入已知條件進(jìn)行驗(yàn)證,可得結(jié)果.
(3)我們可以根據(jù)已知條件中數(shù)列的形式,構(gòu)造出滿足條件的無窮數(shù)列,然后再結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行證明.
解答:解:(1)由題意得an+1=an=a,∴,得a=2或a=3,符合題意
(2)設(shè)an+1>an,即,解得an<0或2<an<3
∴要使a2>a1成立,則a1<0或2<a1<3
①當(dāng)a1<0時(shí),
,
,
即a3<a2,不滿足題意.
②當(dāng)2<a1<3時(shí),
,
an∈(2,3),
此時(shí),,
∴an+1>an,滿足題意.
綜上,a∈(2,3)
(3)構(gòu)造數(shù)列{bn}:,
下面證明滿足要求.
此時(shí),不妨設(shè)a取bn,
那么,

,
可得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212530189709440/SYS201310232125301897094029_DA/12.png">,
所以bn<bn+1
又bn<2≠5,所以數(shù)列{bn}是無窮數(shù)列,
因此構(gòu)造的數(shù)列{bn}符合題意.
點(diǎn)評(píng):已知函數(shù),數(shù)列{an}滿足:a1=a,an+1=f(an),n∈N*.當(dāng)an+1=an成立時(shí),可以用方程思想解決問題,當(dāng)an+1>an成立時(shí),可以用不等式思想,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;這其實(shí)是函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)換,也是數(shù)列的函數(shù)特征最好的體現(xiàn).
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù),數(shù)列an滿足
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(1)若數(shù)列{an}是常數(shù)列,求a的值;
(2)當(dāng)a1=4時(shí),記,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出通項(xiàng)公式an

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已知函數(shù),數(shù)列an滿足an=f(n)(n∈N*),且an是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是    

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