Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（2，0），B（0，1）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程及離心率；
（2）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0），點(diǎn)     Q（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4，求y₀的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)A（2，0），B（0，1）兩點(diǎn)，則a=2，b=1．c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；即可求得橢圓C的方程及離心率；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得中點(diǎn)M的坐標(biāo)，分類，①當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），由$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4，得y₀=±2$\sqrt{2}$．②當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為y-$\frac{2k}{1+4k2}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{8k2}{1+4k2}$）．向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示．即可求得求得y₀的值．

解答 解：（1）由題意得，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，
過點(diǎn)A（2，0），B（0，1）兩點(diǎn)．
∴a=2，b=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
又c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）可知A（-2，0）．
設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2）．
于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
由方程組消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
由-2x₁=$\frac{16k2-4}{1+4k2}$，得x₁=$\frac{2-8k2}{1+4k2}$．
從而y₁=$\frac{4k}{1+4k2}$．
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，
則M的坐標(biāo)為（-$\frac{8k2}{1+4k2}$，$\frac{2k}{1+4k2}$）．
以下分兩種情況：
①當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是$\overrightarrow{QA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{QB}$=（2，-y₀）．
由$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4，得y₀=±2$\sqrt{2}$．
②當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為
y-$\frac{2k}{1+4k2}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{8k2}{1+4k2}$）．
令x=0，解得y₀=-$\frac{6k}{1+4k2}$．
由$\overrightarrow{QA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{QB}$=（x₁，y₁-y₀）．
$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=-2x₁-y₀（y₁-y₀）
=$\frac{-2?2-8k2?}{1+4k2}$+$\frac{6k}{1+4k2}$（$\frac{4k}{1+4k2}$+$\frac{6k}{1+4k2}$）
=$\frac{4?16k4+15k2-1?}{?1+4k2?2}$=4，
整理得7k²=2，故k=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$．所以y₀=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$．
綜上，y₀=±2$\sqrt{2}$或y₀=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．