Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）判斷在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.（提示：）

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.理由見解析

【解析】

（1）令導(dǎo)數(shù)，解出方程后，結(jié)合函數(shù)的定義域，探究隨的變化，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷出函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，又由，結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理，可判斷出在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解：（1）由題意知，的定義域?yàn)?/span>，則令，

解得或，當(dāng)或時(shí)，，則此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)單調(diào)遞減.

故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，故在上無(wú)零點(diǎn)；

又，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

又在上單調(diào)遞增，所以在上僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.