【題目】已知一個(gè)正多邊形的每條邊和對角線恰各染成2018種顏色之一,且所有邊及對角線不全同色.若正多邊形中不存在兩色三角形(即三角形的三邊恰被染成兩種顏色),則稱該多邊形的染色是“和諧的”.求最大的正整數(shù) ,使得存在一個(gè)和諧的染色正邊形.

【答案】

【解析】

先考慮和諧染色的正邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn) .可證明:對于每種顏色,由至多可以引出2016條該種顏色的邊.

否則,設(shè)與頂點(diǎn)相連的邊有相同的顏色(記為 ),于是,兩兩之間連邊的顏色均為.

令頂點(diǎn)為與相連的邊異于顏色的一個(gè)頂點(diǎn)(此頂點(diǎn)必然存在,否則,正邊形的所有邊均為顏色 ,與條件矛盾).此時(shí),頂點(diǎn)的連邊兩兩不同色,且均不為顏色 ,這樣至少有2019種顏色,與條件矛盾.

從而,在和諧染色的正多邊形中,任一頂點(diǎn)引出的邊數(shù)為

.

再證明:存在和諧的染色正邊形.

注意到,2017為素?cái)?shù).

故對任意整數(shù) ,及任意整數(shù),均存在唯一的 ,使得.

表示個(gè)頂點(diǎn),其中,、,數(shù)字0,1,…,2017表示2018種顏色.

對于頂點(diǎn) ,當(dāng) 時(shí),

則將 之間的連邊染顏色;

,則將 之間的連邊染色顏色2017.

由2017為素?cái)?shù),知染色方式唯一確定.

下面證明:這樣的染色方式是和諧的.

對于任意三個(gè)頂點(diǎn)、,若 、之間的連邊同色,則、之間的連邊也必為此種顏色.

事實(shí)上,若、之間的連邊同為顏色2017,則.故、 之間的連邊也為顏色2017.

、之間的連邊同為顏色,

,.

.

從而,、 之間的連邊也為顏色 .

綜上,滿足條件的.

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