Question

如圖，在扇形OAB中，∠AOB=60°，點C為弧AB上的一個動點．若=x+y，則x+3y的取值范圍是________．

Answer 1

[1，3]
分析：過點C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F．平行四邊形OECF中，可得，結合平面向量基本定理得到=x，=y．考慮到x、y均為正數且x+3y中y的系數較大，所以當y越大時x+3y的值越大，因此將點C沿AB弧由A向B運動，加以觀察即可得到x+3y的取值范圍．
解答：過點C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F，可得
∵四邊形OECF是平行四邊形
∴
∵=x+y，與是共線向量且與是共線向量，
∴=x，=y
根據與同向、與同向，可得x=且y=
∵x、y均為正數且x+3y中y的系數較大，當點C沿AB弧由A向B運動的過程中，
||變短而||變長
∴當C與A重合時，x=1達到最大而y=0達到最小，此時x+3y有最小值為1；
當C與A重合時，x=0達到最小而y=1達到最大，此時x+3y有最大值為3
即x+3y的取值范圍是[1，3]
故答案為：[1，3]
點評：本題給出扇形OAB的弧AB上動點C，在=x+y的情況下求x+3y的取值范圍．著重考查了平面向量基本定理、向量的線性運算法則和二元函數最值求法等知識，屬于中檔題．