Question

6．如圖，OAB是一塊半徑為1，圓心角為$\frac{π}{3}$的扇形空地．現(xiàn)決定在此空地上修建一個矩形的花壇CDEF，其中動點C在扇形的弧$\widehat{AB}$上，記∠COA=θ．
（Ⅰ）寫出矩形CDEF的面積S與角θ之間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)角θ取何值時，矩形CDEF的面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先把矩形的各個邊長用角α表示出來，進而表示出矩形的面積；
（Ⅱ）化簡函數(shù)，利用角α的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求矩形面積的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）因為：OF=cosθ，CF=sinθ，
所以：$OE=\frac{DE}{{tan\frac{π}{3}}}=\frac{CF}{{\sqrt{3}}}=\frac{sinθ}{{\sqrt{3}}}$，$EF=OF-OE=cosθ-\frac{sinθ}{{\sqrt{3}}}$，…（2分）
所以：$S=EF•CF=（cosθ-\frac{sinθ}{{\sqrt{3}}}）sinθ$=$sinθcosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}θ$，$θ∈（0，\frac{π}{3}）$…（4分）
（Ⅱ）$S=sinθcosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}θ$
$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}sin2θ+\frac{{\sqrt{3}}}{6}cos2θ-\frac{{\sqrt{3}}}{6}\\=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2θ+\frac{1}{2}cos2θ）-\frac{{\sqrt{3}}}{6}\end{array}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sin（2θ+\frac{π}{6}）-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，…（8分）
因為：$θ∈（0，\frac{π}{3}）$，
所以：$2θ+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$
所以：當(dāng)$2θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{6}$時，矩形CDEF的面積S取得最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．…（12分）

點評 本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進行化簡，屬于中檔題．