Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x²+y²=4與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線AM，AN分別與圓O交于M，N兩點(diǎn)．
（ I）若k_AM=2，k_AN=-$\frac{1}{2}$，求△AMN的面積；
（ II）過點(diǎn)P（3$\sqrt{3}$，-5）作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為E、F，求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$．

Answer 1

分析 （I）若k_AM=2，k_AN=-$\frac{1}{2}$，求出|AM|，|AN|，即可求△AMN的面積；
（II）求出$cos∠OPE=\frac{{4\sqrt{3}}}{{2\sqrt{13}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{13}}}$，利用向量的數(shù)量積公式，求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$．

解答 解：（I）∵$A（-2，0），{k_{AM}}=2，{k_{AN}}=-\frac{1}{2}$，
∴$直線AM的方程為y=2x+4，直線AN的方程為y=-\frac{1}{2}x-1$，
∴$圓心O到直線AM的距離d=\frac{|4|}{{\sqrt{5}}}，從而|{AM}|=2\sqrt{4-\frac{16}{5}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．…（2分）
∵${k_{AM}}•{k_{AN}}=-1∴AM⊥AN∴|{AN}|=2d=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$…（4分）∴${S_{△AMN}}=\frac{1}{2}|{AM}|•|{AN}|=\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{5}}}{5}×\frac{{8\sqrt{5}}}{5}=\frac{16}{5}$．…（6分）
（II）∵$|{PO}|=\sqrt{{{（3\sqrt{3}）}^2}+{{（-5）}^2}}=2\sqrt{13}$，$|{\overrightarrow{PE}}|=\sqrt{P{O^2}-O{E^2}}=\sqrt{{{（2\sqrt{13}）}^2}-4}=4\sqrt{3}$．
∴$cos∠OPE=\frac{{4\sqrt{3}}}{{2\sqrt{13}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{13}}}$…（8分）
又∵$cos∠FPE=cos2∠OPE=2{cos^2}∠OPE-1=2{（\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{13}}}）^2}-1=\frac{11}{13}$…（10分）
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=|{\overrightarrow{PE}}|•|{\overrightarrow{PF}}|cos∠FPE={（4\sqrt{3}）^2}×\frac{11}{13}=\frac{528}{13}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．