Question

【題目】已知函數(shù)φ（x）= ，a＞0
（1）若函數(shù)f（x）=lnx+φ（x），在（1，2）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對(duì)任意x1 ， x2∈（0，2]，且x1≠x2 ， 都有 ＜﹣1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=lnx+φ（x）=lnx+ ，（x＞0，a＞0），

f′（x）= ﹣ ，

當(dāng)f′（1）f′（2）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，

即為（1﹣ a）（ ﹣ a）＜0，

解得：4＜a＜ ；

（2）解：∵ ＜﹣1，

∴有 +1＜0，

∴ ＜0，

設(shè)h（x）=g（x）+x，依題意，h（x）在（0，2]上是減函數(shù)．

當(dāng)1≤x≤2時(shí)，h（x）=lnx+ +x，h′（x）= ﹣ +1，

令h′（x）≤0，得：a≥ +（x+1）2=x2+3x+ +3對(duì)x∈[1，2]恒成立，

設(shè)m（x）=x2+3x+ +3，則m′（x）=2x+3﹣ ，

∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3﹣ ＞0，

∴m（x）在[1，2]上遞增，則當(dāng)x=2時(shí)，m（x）有最大值為 ，

∴a≥ ；

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）=﹣lnx+ +x，h′（x）=﹣ ﹣ +1，

令h′（x）≤0，得：a≥﹣ +（x+1）2=x2+x﹣ ﹣1，

設(shè)t（x）=x2+x﹣ ﹣1，則t′（x）=2x+1+ ＞0，

∴t（x）在（0，1）上是增函數(shù)，

∴t（x）＜t（1）=0，

∴a≥0

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）f′（2）＜0，解出即可；（2）設(shè)h（x）=g（x）+x，依題意得出h（x）在（0，2]上是減函數(shù)．下面對(duì)x分類討論：①當(dāng)1≤x≤2時(shí)，②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從及最值，即可求得求a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．