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一個口袋中裝有大小相同的n個紅球(n≥5且n∈N)和5個白球,一次摸獎從中摸兩個球,兩個球的顏色不同則為中獎.
(I)試用n表示一次摸獎中獎的概率p;
(II)記從口袋中三次摸獎(每次摸獎后放回)恰有一次中獎的概率為m,用p表示恰有一次中獎的概率m,求m的最大值及m取最大值時p、n的值;
(III)當n=15時,將15個紅球全部取出,全部作如下標記:記上i號的有i個(i=1,2,3,4),共余的紅球記上0號.并將標號的15個紅球放人另一袋中,現從15個紅球的袋中任取一球,ξ表示所取球的標號,求ξ的分布列、期望和方差.
分析:(I)計算出從n+5個球中任取兩個的方法數和其中兩個球的顏色不同的方法,由古典概型公式,代入數據得到一次摸獎中獎的概率;
(II)求出三次摸獎中(每次摸獎后放回)恰有一次中獎的概率,利用導數確定函數的單調性,即可求出其最大值及相應的p值;
(III)記上0號的有5個紅球,從中任取一球,有15種取法,它們是等可能的,確定變量的取值,求出相應的概率,可得ξ的分布列、期望和方差.
解答:解:(I)一次摸獎從n+5個球中任取兩個,有Cn+52種方法,它們是等可能的,其中兩個球的顏色不同的方法有Cn1C51種,
∴一次摸獎中獎的概率P=
C
1
n
C
1
5
C
2
n+5
=
10n
(n+5)(n+4)

(II)設每次摸獎中獎的概率為p(0<p<1),三次摸獎中(每次摸獎后放回)恰有一次中獎的概率是
m=
C
1
3
p(1-p)2
=3p3-6p2+3p(0<p<1)
求導數可得m′=3(p-1)(3p-1)
∴函數在(0,
1
3
)上為增函數,在(
1
3
,1)上為減函數
∴p=
1
3
時,即
10n
(n+5)(n+4)
=
1
3
,即n=20時,mmax=
4
9
;
(III)記上0號的有5個紅球,從中任取一球,有15種取法,它們是等可能的
故ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3 4
P
1
3
1
15
2
15
1
5
4
15
∴Eξ=0×
1
3
+1×
1
15
+2×
2
15
+3×
1
5
+4×
4
15
=2
Dξ=(0-2)2×
1
3
+(1-2)2×
1
15
+(2-2)2×
2
15
+(3-2)2×
1
5
+(4-2)2×
4
15
=
8
3
點評:本題考查概率知識,考查學生的計算能力,求離散型隨機變量期望的步驟:①確定離散型隨機變量的取值;②寫出分布列,并檢查分布列的正確與否,即看一下所有概率的和是否為1;③求出期望.
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86
105
86
105
(用數字作答)

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