Question

4．若點P在函數(shù)y=-x²+3lnx的圖象上，點Q在函數(shù)y=x+2的圖象上，則|PQ|的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 設出切點，求得函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得切點，求出與直線y=x+2平行且與曲線y=-x²+3lnx相切的直線y=x+m．再求出此兩條平行線之間的距離，即可得出．

解答 解：設直線y=x+m與曲線y=-x²+3lnx相切于P（x₀，y₀），
由函數(shù)y=-x²+3lnx，可得y′=-2x+$\frac{3}{x}$，
令-2x₀+$\frac{3}{{x}_{0}}$=1，又x₀＞0，解得x₀=1．
即有y₀=-1+3ln1=-1，
可得切點P（1，-1）．
代入-1=1+m，解得m=-2．
可得與直線y=x+2平行且與曲線y=-x²+3lnx相切的直線y=x-2．
而兩條平行線y=x+2與y=x-2的距離d=$\frac{|-2-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
即有|PQ|的最小值為2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義、切線的方程、兩條平行線之間的距離、最小值的轉化問題等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．