Question

【題目】已知函數f（x）=xln（1+x）﹣a（x+1），其中a為實常數．
（1）當x∈[1，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（2）求函數 的單調區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知：

則 ，

令

∵x∈[1，+∞），∴h'（x）＞0

即h（x）在[1，+∞）上單調遞增

∴ ，

∴a的取值范圍是

（2）解：由（1）知

則

①當a＞1，x∈（﹣1，a﹣2）時，g'（x）＜0，g（x）在（﹣1，a﹣2）上單調遞減，

x∈（a﹣2，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上單調遞增

②當a≤1時，g'（x）＞0，g（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增

綜上所述，當a＞1時，g（x）的增區(qū)間為（a﹣2，+∞），減區(qū)間為（﹣1，a﹣2）

當a≤1時，g（x）的增區(qū)間為（﹣1，+∞）

【解析】（1）先求出函數f（x）的導函數，將a分類出來得則 ，然后利用導數研究不等式右式函數的最小值即可；（2）先求出函數g（x）的解析式，求出導函數g'（x），討論a與1的大小，從而確定導函數的正負，當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減．