Question

設△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列．給出以下四個結(jié)論：
①b²≥ac；②

1

a

+

1

c

≥

2

b

； ③b2≤

a2+c2

2

； ④B∈(0，

π

3

]
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：①由于△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a，b，c成等差數(shù)列．可得a+c=2b．a(chǎn)，b，c＞0．
利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出；
②左邊=

a+c

ac

=

2b

ac

，利用①的結(jié)論與不等式的性質(zhì)即可得出；
③利用基本不等式的性質(zhì)可得b²=(

a+c

2

)2≤

a2+c2

2

④利用余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

，再利用基本不等式的性質(zhì)、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：①∵△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a，b，c成等差數(shù)列．
∴a+c=2b．a(chǎn)，b，c＞0．
∴2b≥2

ac

，化為b²≥ac．
②左邊=

a+c

ac

=

2b

ac

≥

2b

b2

=

2

b

=右邊，正確；
③b²=(

a+c

2

)2≤

a2+c2

2

，正確；
④cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴0＜B≤

π

3

．
綜上可得：①②③④正確．
故選：A．

點評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．