Question

14．記公差d≠0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=2+$\sqrt{2}$，S₃=12+3$\sqrt{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n．
（2）已知等比數(shù)列{b_nk}，b_n+$\sqrt{2}$=a_n，n₁=1，n₂=3，求n_k．
（3）問數(shù)列{a_n}中是否存在互不相同的三項構(gòu)成等比數(shù)列，說明理由．

Answer 1

分析 （1）在等差數(shù)列{a_n}中，由已知求得公差，代入等差數(shù)列的通項公式得答案；
（2）由b_n+$\sqrt{2}$=a_n，得$_{n}={a}_{n}-\sqrt{2}=2n$，結(jié)合數(shù)列{$_{{n}_{k}}$}是等比數(shù)列即可求得${n}_{k}={3}^{k-1}$；
（3）假設(shè)存在三項a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列，則${{a}_{s}}^{2}={a}_{r}{a}_{t}$，即有$（2s+\sqrt{2}）^{2}=（2r+\sqrt{2}）（2t+\sqrt{2}）$，整理后分rt-s²≠0和rt-s²=0推得矛盾，可知不存在滿足題意的三項a_r，a_s，a_t．

解答 解：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，
∵a₁=2+$\sqrt{2}$，S₃=12+3$\sqrt{2}$，∴$3{a}_{1}+3d=12+3\sqrt{2}$，得d=2，
∴${a}_{n}={a}_{1}+（n-1）d=2n+\sqrt{2}$，${S}_{n}=\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}={n}^{2}+（\sqrt{2}+1）n$；
（2）∵b_n+$\sqrt{2}$=a_n，∴$_{n}={a}_{n}-\sqrt{2}=2n$，
∴$_{{n}_{k}}=2{n}_{k}$，又數(shù)列{$_{{n}_{k}}$}的首項為$_{{n}_{1}}=_{1}=2$，公比q=$\frac{_{3}}{_{1}}=3$，
∴$_{{n}_{k}}=2•{3}^{k-1}$，則$2{n}_{k}=2{3}^{k-1}$，故${n}_{k}={3}^{k-1}$；
（3）假設(shè)存在三項a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列，則${{a}_{s}}^{2}={a}_{r}{a}_{t}$，
即有$（2s+\sqrt{2}）^{2}=（2r+\sqrt{2}）（2t+\sqrt{2}）$，
整理得：$（rt-{s}^{2}）\sqrt{2}=2s-r-t$，若rt-s²≠0，則$\sqrt{2}=\frac{2s-r-t}{rt-{s}^{2}}$，
∵r，s，t∈N^*，∴$\frac{2s-r-t}{rt-{s}^{2}}$是有理數(shù)，與$\sqrt{2}$為無理數(shù)矛盾；
若rt-s²=0，則2s-r-t=0，從而可得r=s=t，這樣r＜s＜t矛盾．
綜上可知，不存在滿足題意的三項a_r，a_s，a_t．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，訓練了存在性問題的求解方法，是中檔題．