Question

9．如果直線ax-by+5=0（a＞0，b＞0）和函數(shù)f（x）=m^x+1+1（m＞0，m≠1）的圖象恒過一個定點，且該定點始終落在圓（x-a+1）²+（y+b+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{85}{4}$的內(nèi)部或圓上，那么$\frac{ab}{2a+b}$的取值范圍是[$\frac{3}{7}$，$\frac{5}{9}$]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)恒過的定點，代入直線方程，及圓的方程，再換元，轉(zhuǎn)化為t的不等式，即可求出$\frac{ab}{2a+b}$的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=m^x+1+1的圖象恒過點（-1，2），
代入直線ax-by+5=0可得-a-2b+5=0，
即a+2b=5①．
∵定點始終落在圓（x-a+1）²+（y+b+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{85}{4}$的內(nèi)部或圓上，
∴（-a）²+（2+b+$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{85}{4}$②，
由①②可得b²-3b+2≤0，
∴1≤b≤2，
∴$\frac{ab}{2a+b}$=$\frac{5b-2^{2}}{10-3b}$．
令t=10-3b，可得4≤t≤7，$\frac{ab}{2a+b}$=$\frac{5b-2^{2}}{10-3b}$=$\frac{25}{9}$-$\frac{2}{9}$（t+$\frac{25}{t}$）．
∵4≤t≤7，∴10≤t+$\frac{25}{t}$≤$\frac{74}{7}$．
∴$\frac{3}{7}$≤$\frac{ab}{2a+b}$≤$\frac{5}{9}$．
故答案為：[$\frac{3}{7}$，$\frac{5}{9}$]．

點評 本題考查恒過定點問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查解不等式，屬于中檔題．