Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，過(guò)點(diǎn)M（1，1）的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若M為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 由于A，B兩點(diǎn)是直線與橢圓的交點(diǎn)，故它們應(yīng)滿足橢圓方程，設(shè)出它們的坐標(biāo)，然后根據(jù)它們的中點(diǎn)為M，可將坐標(biāo)間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求直線AB的斜率，然后再由點(diǎn)斜式求出直線方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1，①，
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}$=1．②
①-②，得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{8}$=0．
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-2•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$．
又∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∴直線AB的斜率為-2．
∴直線AB的方程為y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法求直線方程的方法，注意運(yùn)用斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．