Question

7．已知點(diǎn)A（1，-$\sqrt{3}$），B（-2，2$\sqrt{3}$）．
（1）求方向與AB一致的單位向量；
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{AB}$的夾角為60°，且|$\overrightarrow{AC}$|=2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用方向與$\overrightarrow{AB}$一致的單位向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB|}}$，即可得出，
（2）設(shè)C的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模，構(gòu)造方程組，解得即可．

解答 解：（1）A（1，-$\sqrt{3}$），B（-2，2$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3，3$\sqrt{3}$），
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{（-3）^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，
∴方向與$\overrightarrow{AB}$一致的單位向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB|}}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
（2）設(shè)C的坐標(biāo)為（x，y），
∴$\overrightarrow{AC}$=（x-1，y+$\sqrt{3}$），
∴（x-1）²+（y+$\sqrt{3}$）²=4①
∵向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{AB}$的夾角為60，
∴cos60=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{-3x+3+3\sqrt{3}y+9}{6×2}$=$\frac{1}{2}$，
∴-x+$\sqrt{3}$y+2=0，②，
由①②構(gòu)成方程組，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），或（-1，-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量是運(yùn)算、單位向量，向量的數(shù)量積公式，以及利用數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角問題，屬于基礎(chǔ)題．