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11.已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f′(x)+2f(x)=lnx+12e2x,且f(1)=14e2,則不等式f(lnx)>f(3)的解集為( �。�
A.(-∞,e3B.(0,e3C.(1,e3D.(e3,+∞)

分析 由題意可知:[e2x(x)]′=lnx+12,兩邊積分,求得函數(shù)f(x)的解析式,求導(dǎo),利用函數(shù)的單調(diào)性,即可求得不等式的解集.

解答 解:由題意f′(x)+2f(x)=lnx+12e2x,即[e2x•f(x)]′=lnx+12,
兩邊積分可知:e2x(x)=xlnx-x+12x+C,
∴f(x)=xlnx12x+Ce2x,
由f(1)=14e2,代入解得:C=34
∴f(x)=xlnx12x+34e2x,
求導(dǎo)f′(x)=2xlnx+lnx+x1e2x,由e2x>0
令g(x)=-2xlnx+lnx+x-1,求導(dǎo)g′(x)=-2lnx+1x-1,
令g′(x)=0,解得:x=1,
當(dāng)x>1時,g′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,
當(dāng)0<x<1時,g′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=1時,f′(x)取最大值,最大值為0,
即f′(x)≤0恒成立,
∴f(x)=xlnx12x+34e2x,單調(diào)遞減,
∴由f(lnx)>f(3),則0<lnx<3,
即1<x<e3
故不等式的解集(1,e3),
故選:C.

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的求法,考查不定積分的求法,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查計(jì)算能力,屬于難題.

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