Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^2π-x+sinx，x∈[π，2π]，g（x）=${π}^{2x-e}+ln\frac{x}{e}$．x∈（0，e]．
（1）若存在實(shí)數(shù)x₀∈[π，2π]使得a≤f（x₀）成立．對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈（0，e]，b≥g（x）成立，求α的最大值u，b的最小值v；
（2）試比較u與v的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x），g（x）的單調(diào)性，求出f（x），g（x）的最大值，則u=f_max（x），v=g_max（x）；
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{lnx}{x}$，判斷h（x）的單調(diào)性，得出h（e）＞h（π），化簡(jiǎn)即可得出u，v的大小關(guān)系．

解答 解：（1）f′（x）=-e^2π-x+cosx，
∵π≤x≤2π，∴-e^2π-x≤-1，cosx≤1，
∴f′（x）=-e^2π-x+cosx≤0，
∴f（x）在[π，2π]上單調(diào)遞減，∴f_max（x）=f（π）=e^π．
∵存在實(shí)數(shù)x₀∈[π，2π]使得a≤f（x₀）成立，
∴a≤e^π，∴u=e^π．
∵g′（x）=2π^2x-elnπ+$\frac{1}{x}$＞0，
∴g（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，∴g_max（x）=g（e）=π^e．
∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈（0，e]，b≥g（x）成立，
∴b≥π^e，∴v=π^e．
（2）令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x≥e時(shí)，h′（x）≤0，
∴h（x）在[e，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（e）＞h（π），即$\frac{lne}{e}＜\frac{lnπ}{π}$，∴πl(wèi)ne＜elnπ，
∴l(xiāng)ne^π＜lnπ^e，即e^π＜π^e．
∴u＜v．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)最值的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．