Question

12．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線(xiàn)y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．且$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{EC}=0$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）直線(xiàn)AB方程為bx-ay-ab=0，依題意列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式、向量的數(shù)量積，能求出實(shí)數(shù)k的值．

解答 解：（1）直線(xiàn)AB方程為bx-ay-ab=0，
依題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a²=3，b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0…①，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，…②
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k₂x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∵$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{EC}=0$，∴CE⊥DE，
則y₁x₁+y₂x₂+1=-1，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k₂+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₁）+5=0…③
將②代入③整理得k=$\frac{7}{6}$，
經(jīng)驗(yàn)證k=$\frac{7}{6}$使得①成立，
綜上可知，k=$\frac{7}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、根的判別式、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．