Question

12．設(shè)常數(shù)a∈R，若函數(shù)f（x）=（a-x）|x|存在反函數(shù)f^-1（x）．
（1）求證：a=0，并求出反函數(shù)f^-1（x）；
（2）若關(guān)于x的不等式f^-1（x²+m）＜f（x）對一切x∈[-2，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）存在反函數(shù)f^-1（x），得出f（x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求出a的值；
（2）分類討論，分離參數(shù)，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 （1）證明：∵函數(shù)f（x）=（a-x）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax，x≥0}\\{{x}^{2}-ax，x＜0}\end{array}\right.$，
且f（x）存在反函數(shù)f^-1（x），
∴f（x）是定義域R的單調(diào)增函數(shù)，
∴a=0，
（2）解：由（1）可得f（x）=-x|x|，
x≥0，f（x）=-x²，f^-1（x）=$\sqrt{-x}$．x＜0，f（x）=x²，f^-1（x）=-$\sqrt{x}$，
-2≤x≤0，x²+m＜0，不等式f^-1（x²+m）＜f（x）可化為$\sqrt{-{x}^{2}-m}$＜x²，
∴m＜-x²，且m＞-x²-x⁴，
∴m＜-4且m＞0，不成立．
-2≤x≤0，x²+m＞0，不等式f^-1（x²+m）＜f（x）可化為-$\sqrt{{x}^{2}+m}$＜x²，
∴m＞-x²，∴m＞0；
0≤x≤2，x²+m＜0，不等式f^-1（x²+m）＜f（x）可化為$\sqrt{-{x}^{2}-m}$＜-x²，不成立．
0≤x≤2，x²+m＞0，不等式f^-1（x²+m）＜f（x）可化為-$\sqrt{{x}^{2}+m}$＜-x²，
∴m＞-x²，且m＞-x²+x⁴，
∴m＞0且m＞12，∴m＞12．
綜上所述，m＞12．

點評 本題考查反函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．