Question

數(shù)列中各項為正數(shù)，為其前n項和，對任意，總有成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）是否存在最大正整數(shù)p，使得命題“，”是真命題？若存在，求出p；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

(1) ;(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)是等差數(shù)列，得到,當時，兩式相減整理得到關于數(shù)列的遞推公式，可以知道數(shù)列是等差數(shù)列，利用求出首項;

(2)第一種方法就是首先假設存在正整數(shù),滿足，利用代入得成立即中的最大整數(shù)，設,,利用導數(shù)易知函數(shù)的單調(diào)性，易求函數(shù)的最小值，

第二種方法設函數(shù)，求其導數(shù)，得到函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，其最大值小于0，求出p的范圍.

試題解析：（1）由已知時，，∴

兩式相減，得 ∴

又為正數(shù)，∴. 4分

∴是公差為1的等差數(shù)列.

當時，，得，∴. 6分

（2）解法1：假設存在正整數(shù)p，滿足，即.

∴ 8分

設函數(shù)，則.

當時，，∴在[1，+∞）上為增函數(shù).

∴，即有.

∵p為滿足的最大正整數(shù)，而，故. 12分

解法2：設，

，

故在[1，+∞）上為減函數(shù)， 9分

.

令. ∵，

故使成立的最大正整數(shù). 12分

考點：1.已知求;2.利用函數(shù)的導數(shù)求其最值.