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【題目】某公園欲將一塊空地規(guī)劃成如圖所示的區(qū)域，其中在邊長為20米的正方形內種植經紅色郁金香，在正方形的剩余部分（即四個直角三角形內）種植黃色郁金香．現要在以為邊長的矩形內種植綠色草坪，要求綠色草坪的面積等于黃色郁金香的面積．設，米．

（1）求與之間的函數關系式；

（2）求的最大值．

【答案】（1），其中（2）米

【解析】

（1）利用已知條件將黃色郁金香和綠色草坪的面積表示出來，然后根據面積相等，得到與之間的函數關系式，注意定義域；

（2）根據，用換元法并構造新函數完成最大值的求解.

解：（1）在中，，則，

同理，在中，，則，

所以．

因為在矩形內種植與黃花面積相等的草坪，

設矩形的面積為，則，

所以，

所以，其中．

（2）令，則．

因為，所以，

所以，因為在上單調遞增，

所以，

答：的最大值為米．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“微信運動”已成為當下熱門的健身方式，小王的微信朋友圈內也有大量好友參與了“微信運動”，他隨機選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數，并將數據整理如下：

（1）若采用樣本估計總體的方式，試估計小王的所有微信好友中每日走路步數超過5000步的概率；

（2）已知某人一天的走路步數超過8000步被系統(tǒng)評定“積極型”，否則為“懈怠型”，根據題意完成下面的列聯表，并據此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數，其中.

（Ⅰ）當時，討論函數的單調性；

（Ⅱ）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；

（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（1）已知函數，試判斷函數的單調性，并說明理由；

（2）已知函數.

（i）判斷的奇偶性，并說明理由；

（ii）求證：對于任意的x ,y∈R，且x≠±1 ，y≠±1，xy≠1都有①.

（3）由⑵可知滿足①式的函數是存在的，如．問：滿足①的函數是否存在無窮多個？說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知a，b為常數，a0，函數．

（1）若a=2，b=1，求在（0，+∞）內的極值；

（2）①若a>0，b>0，求證：在區(qū)間[1，2]上是增函數；

②若，，且在區(qū)間[1，2]上是增函數，求由所有點形成的平面區(qū)域的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數（R）．

（1）求函數在R上的最小值；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（3）若方程在上有四個不相等的實數根，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，B,C分別是海岸線上的兩個城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B，C之間的距離為100km，海島A在城市B的正東方50處．從海島A到城市C，先乘船按北偏西θ角（，其中銳角的正切值為）航行到海岸公路P處登陸，再換乘汽車到城市C．已知船速為25km/h，車速為75km/h.

（1）試建立由A經P到C所用時間與的函數解析式；

（2）試確定登陸點P的位置，使所用時間最少，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，平面平面，平面平面.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若底面為矩形，，為的中點，，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（，且）.

（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）求函數在上的最大值.

【答案】（Ⅰ）的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（Ⅱ）當時， ；當時， .

【解析】【試題分析】(I)利用的二階導數來研究求得函數的單調區(qū)間.(II) 由（Ⅰ）得在上單調遞減，在上單調遞增，由此可知.利用導數和對分類討論求得函數在不同取值時的最大值.

【試題解析】

（Ⅰ），

設 ，則.

∵， ，∴在上單調遞增，

從而得在上單調遞增，又∵，

∴當時， ，當時， ，

因此， 的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調遞減，在上單調遞增，

由此可知.

∵， ，

∴.

設，

則 .

∵當時， ，∴在上單調遞增.

又∵，∴當時， ；當時， .

①當時， ，即，這時， ；

②當時， ，即，這時， .

綜上， 在上的最大值為：當時， ；

當時， .

[點睛]本小題主要考查函數的單調性,考查利用導數求最大值. 與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關系，進而確定參數的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題．

【題型】解答題
【結束】
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為 .

（Ⅰ） 寫出圓 的參數方程和直線的直角坐標方程；

（ Ⅱ ） 設直線 與軸和軸的交點分別為，為圓上的任意一點，求的取值范圍.

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