Question

【題目】已知a，b為常數(shù)，a0，函數(shù)．

（1）若a=2，b=1，求在（0，+∞）內(nèi)的極值；

（2）①若a>0，b>0，求證：在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)；

②若，，且在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求由所有點(diǎn)形成的平面區(qū)域的面積．

Answer 1

【答案】（1），（2）①詳見(jiàn)解析，②

【解析】

試題分析：（1）求具體函數(shù)極值問(wèn)題分三步，一是求導(dǎo)，二是求根，三是列表，關(guān)鍵在于正確求出導(dǎo)數(shù)，即；求根時(shí)需結(jié)合定義區(qū)間進(jìn)行取舍，如根據(jù)定義區(qū)間舍去負(fù)根；列表時(shí)需注意導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間的符號(hào)變化規(guī)律，這樣才可得出正確結(jié)論，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)附近導(dǎo)數(shù)值必須要變號(hào)，（2）①利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性，首先要正確轉(zhuǎn)化，如本題只需證到在區(qū)間[1，2]上成立即可，由得只需證到在區(qū)間[1，2]上，因?yàn)閷?duì)稱軸在區(qū)間[1，2]上單調(diào)增，因此只需證，而這顯然成立，②中條件“在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)”與①不同，它是要求在區(qū)間[1，2]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖像可得關(guān)于不等關(guān)系，再考慮，，可得可行域.

試題解析：（1）解:2分

當(dāng)時(shí),,

令得或(舍去) 4分

當(dāng)時(shí),是減函數(shù),

當(dāng)時(shí),是增函數(shù)

所以當(dāng)時(shí),取得極小值為6分

（2）令

①證明:二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上,

對(duì)稱軸且8分

對(duì)一切恒成立.

又對(duì)一切恒成立.

函數(shù)圖象是不間斷的,

在區(qū)間上是增函數(shù). 10分

②解:

即

在區(qū)間上是增函數(shù)

對(duì)恒成立.

則對(duì)恒成立.

12分

在(*)(**)的條件下,且

且恒成立.

綜上,點(diǎn)滿足的線性約束條件是14分

由所有點(diǎn)形成的平面區(qū)域?yàn)?/span>(如圖所示),

其中

則

即的面積為. 16分