【題目】對于函數(shù),若在定義域內存在實數(shù),滿足,則稱為“類函數(shù)”.

(1)已知函數(shù),試判斷是否為“類函數(shù)”?并說明理由;

(2)設是定義在上的“類函數(shù)”,求是實數(shù)的最小值;

(3)若 為其定義域上的“類函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)函數(shù)是“類函數(shù)”;(2);(3).

【解析】試題分析:(1),得整理可得滿足

(2) 由題存在實數(shù)滿足,即方程上有解.令分離參數(shù)可得,設求值域,可得

取最小值

(3) 由題即存在實數(shù),滿足,分, 三種情況討論可得實數(shù)m的取值范圍.

試題解析:(1)由,得:

所以

所以存在滿足

所以函數(shù)是“類函數(shù)”,

(2)因為是定義在上的“類函數(shù)”,

所以存在實數(shù)滿足,

即方程上有解.

,因為上遞增,在上遞減

所以當時, 取最小值

(3)由恒成立,得

因為若 為其定義域上的“類函數(shù)”

所以存在實數(shù),滿足

①當時, ,所以,所以

因為函數(shù))是增函數(shù),所以

②當時, ,所以,矛盾

③當時, ,所以,所以

因為函數(shù) 是減函數(shù),所以

綜上所述,實數(shù)的取值范圍是

點睛:已知方程有根問題可轉化為函數(shù)有零點問題,求參數(shù)常用的方法和思路有:

(1)直接法:直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;

(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉化成函數(shù)的值域問題解決;

(3)數(shù)形結合法:先對解析式變形,在同一個平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖像,然后數(shù)形結合求解.

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