Question

（本題滿分14分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，底面.

（1）證明：；

（2）若，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）二面角A－PB－C的余弦值為.

【解析】

試題分析：（1）證明：，證明線線垂直，只需證明一條線垂直過另一條線的平面即可，注意到底面，即，因此可證平面，只需證明，由已知，，，由余弦定理得，即，故，可證（2）若，求二面角的余弦值，可用向量法，注意到DA，DB，DP三條直線兩兩垂直，故以D為坐標原點，射線DA，DB，DP分別為x,y,z的正半軸建立空間直角坐標系D－xyz，寫出各點的坐標，分別求出平面PAB與平面PBC的法向量，即可求出二面角的余弦值．

試題解析：（1）證明：因為，，

由余弦定理得. （2分）

從而，故. （3分）

面面， （4分）

又

所以平面. （5分）

故. （6分）

（2）如圖，以D為坐標原點，射線DA，DB，DP分別為x,y,z的正半軸建立空間直角坐標系D－xyz， 則．

， （8分）

設平面PAB的法向量為，[來源:學科則，即

因此可取． （10分）

設平面PBC的法向量為，則

可取 （12分）

則，故鈍二面角A－PB－C的余弦值為. （14分）

注：第二問若使用幾何法按找到并證明二面角的平面角得4分，求出二面角的平面角的余弦值得4分.其它方法酌情給分.

考點：線面垂直的性質，二面角.