Question

20．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且橢圓上點到橢圓C₁左焦點距離的最小值為$\sqrt{2}$-1．
（1）求C₁的方程；
（2）設直線l同時與橢圓C₁和拋物線C₂：y²=4x相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率和最小距離a-c，解方程可得a=$\sqrt{2}$，c=1，再由a，b，c的關系，可得b，進而得到橢圓方程；
（2）設出直線y=kx+m，聯(lián)立橢圓和拋物線方程，運用判別式為0，解方程可得k，m，進而得到所求直線的方程．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由橢圓的性質(zhì)可得，a-c=$\sqrt{2}$-1，
解方程可得a=$\sqrt{2}$，c=1，
則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）直線l的斜率顯然存在，可設直線l：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由直線和橢圓相切，可得△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
即為m²=1+2k²，①
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
由直線和拋物線相切，可得△=（2km-4）²-4k²m²=0，
即為km=1，②
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{m=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{m=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
即有直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的性質(zhì)：離心率和最小距離a-c，考查直線方程的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和曲線方程，運用判別式為0，考查運算能力，屬于中檔題．