已知圓C:,直線L:.

(1)求證:對(duì)直線L與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn);

(2)設(shè)L與圓C交于不同兩點(diǎn)A、B,求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程;

(3)若定點(diǎn)P(1,1)分弦AB所得向量滿足,求此時(shí)直線L的方程.

 

(1)詳見解析;(2);(3)直線方程為.

【解析】

試題分析:(1)由直線L的方程可知,直線L恒過定點(diǎn)(1,1),而這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi),所以直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);(2)設(shè)M(x,y).當(dāng)M不與P重合時(shí),連接CM、CP,由于P是AB的中點(diǎn),所以CMMP,用勾股定理便可得所求方程(或用向量的數(shù)量積等于0也可).(3)設(shè)A(),B()由可得.將直線與圓的方程聯(lián)立得.由韋達(dá)定理得,再將此與聯(lián)立得,代入方程,從而得直線的方程.

試題解析:(1)直線恒過定點(diǎn)(1,1),且這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi),故直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

(2)當(dāng)M不與P重合時(shí),連接CM、CP,則CMMP,設(shè)M(x,y)

化簡(jiǎn)得:

當(dāng)M與P重合時(shí),滿足上式.

(3)設(shè)A(),B()由.

將直線與圓的方程聯(lián)立得: ..(*)

可得,代入(*)得

直線方程為.

考點(diǎn):直線與圓.

 

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若集合,則集合( )

A. B.

C. D.

 

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(A)2 (B)4或6 (C)2或6 (D)6

 

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A. B. C. D.

 

 

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若變量滿足約束條件的最大值為,最小值為,則的值是( )

(A)16 (B)24 (C)30 (D)48

 

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