Question

4．（1）求函數(shù)y=2|x-1|-|x-4|的值域；
（2）若不等式2|x-1|-|x-a|≥-1在x∈R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論x的范圍求出函數(shù)f（x）的分段函數(shù)的形式，從而求出f（x）的值域即可；
（2）通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的分段函數(shù)的形式，求出f（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵y=2|x-1|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x≥4}\\{3x-6，1≤x≤4}\\{-x-2，x≤1}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{y≥6}\\{-3≤y≤6}\\{y≥-3}\end{array}\right.$，
故函數(shù)的值域是[-3，+∞）；
（2）f（x）=2|x-1|-|x-a|，
①a≥1時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2+a，x≥a}\\{3x-2-a，1＜x＜a}\\{-（x-2+a），x≤1}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）≥2a-2}\\{1-a≤f（x）≤2a-2}\\{f（x）≥1-a}\end{array}\right.$，
而2a-2＞1-a，
此時(shí)f（x）的最小值是1-a，故只需1-a≥-1，
∴1≤a≤2；
②a＜1時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2+a，x≥1}\\{3x-2-a，a＜x＜1}\\{-x+2-a，x≤a}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）≥-1+a}\\{-1＜f（x）＜2-2a}\\{f（x）≥2-2a}\end{array}\right.$，
此時(shí)a＜1時(shí)，-1+a＜2-2a，f（x）的最小值是a-1，
只需a-1≥-1，0≤a＜1，
綜上，a的范圍是[0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分段函數(shù)以及分類討論思想，是一道中檔題．