Question

13．已知角α的正弦值與余弦值均為負值，且cos（75°+α）=$\frac{1}{3}$，則cos（105°-α）+sin（α-105°）=$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$．

Answer 1

分析 由題α的范圍，進而可求范圍：k360°+255°＜75°+α＜k360°+345°，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（75°+α）的值，進而利用誘導公式即可化簡求值得解．

解答 解：∵角α的正弦值與余弦值均為負值，
∴由題知k360°+180°＜α＜k360°+270°，k∈Z，
故k360°+255°＜75°+α＜k360°+345°，
∵cos（75°+α）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（75°+α）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{5π}{12}+α）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（105°-α）+sin（α-105°）=-cos（75°+α）-sin（75°+α）=$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．