函數(shù)f （x） 對一切實數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f （1）=0．
（Ⅰ）求f （0）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅲ）當(dāng)時，f （x）+2＜logax恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f （x） 對一切實數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，令x=1，y=0可求出f（0）的值；
（Ⅱ）令 y=0，可得函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅲ）將f （x）的解析式代入得x2+x＜logax，又，所以x2+x＞0，當(dāng)a＞1時，logax＜0，說明a＞1不合題意，，即h（x）＜0恒成立然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的最大值，使最大值小于等于0即可．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f （x） 對一切實數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立
∴令x=1，y=0，f（1+0）-f（0）=1（1+2×0+1）⇒f（0）=-2…（3分）
（Ⅱ）令 y=0，可得  f（x）=x2+x-2…（5分）
（Ⅲ）f （x）+2＜logax即  x2+x＜logax
又，所以x2+x＞0，
當(dāng)a＞1時，logax＜0，說明a＞1不合題意．…（7分）
，即h（x）＜0恒成立
因為
當(dāng)時，h'（x）＞0恒成立…（9分）
所以 h（x）是增函數(shù)，有 …（11分）
只需 恒成立，解得  
所以實數(shù)a的取值范圍是 …（14分）
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個結(jié)論：
①在△ABC中，∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要條件；
②某企業(yè)有職工150人，其中高級職稱15人，中級職稱45人，一般職員90人，若用分層抽樣的方法抽出一個容量為30的樣本，則一般職員應(yīng)抽出20人；
③如果函數(shù)f（x）對任意的x∈R都滿足f（x）=-f（2+x），則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
④已知點（
π
4
，0）和直線x=
π
2
分別是函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0）圖象的一個對稱中心和一條對稱軸，則ω的最小值為2；其中正確結(jié)論的序號是
 
．（填上所有正確結(jié)論的序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）同時滿足下列條件：①在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)，②在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），那么在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ（a＜ξ＜b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立，我們把這一規(guī)律稱為函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，并把其中的ξ稱為中值．有下列命題：
①若函數(shù)f（x）在（a，b）具有“Lg”性質(zhì)，ξ為中值，點A（a，f（a）），B（b，f（b）），則直線AB的斜率為f′（ξ）；
②函數(shù)y=
2-
x2
2
在（0，2）內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，且中值ξ=
2
，f′（ξ）=-
2
2
；
③函數(shù)f（x）=x3在（-1，2）內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，但中值ξ不唯一；
④若定義在[a，b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f（x）對任意的x1、x2∈[a，b]，x1＜x2，有
1
2
[f（x1）+f（x2）]＜f（
x1+x2
2
）恒成立，則函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，且必有中值ξ=
x1+x2
2
．
其中你認為正確的所有命題序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若函數(shù)f（x）對任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，數(shù)列{bn}滿足bn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)，設(shè)cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•上海模擬）設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)x都有f（x+2）=-f（x），當(dāng)-1≤x≤1時，f（x）=x3
（1）求證：x=1是函數(shù)f（x）的一條對稱軸
（2）證明函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)，并求x∈[1，5]時，f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對任意x∈R，函數(shù)f（x）同時具有下列性質(zhì)：①f（x+π）=f（x）；②函數(shù)f（x）的一條對稱軸是x=
π
3
，則函數(shù)f（x）可以是（　�。�
A、f（x）=sin（
x
2
+
π
6
）
B、f（x）=sin（2x-
π
6
）
C、f（x）=cos（2x-
π
6
）
D、f（x）=cos（2x-
π
3
）

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