Question

設(shè)函數(shù)f（a）=sinα+

3

cosα，其中，角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x，y），且0≤α≤π．
（Ⅰ）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

，1），求f（a）的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角α的取值范圍，并求函數(shù)f（a）的最小值及取得最小值時(shí)的α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

，1），根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得sinα=

1

2

，cosα=-

3

2

，代入可得f（a）的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則α∈[

π

4

，

π

2

]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)f（a）的最小值及取得最小值時(shí)的α的值．

解答： 解：（Ⅰ）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

，1），
則sinα=

1

2

，cosα=-

3

2

，
故f（a）=sinα+

3

cosα=

1

2

-

3

×

3

2

=-1，
（Ⅱ）約束條件

x+y≥1 y≥x y≤1

對(duì)應(yīng)的可行域如下圖所示：

若點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
則α∈[

π

4

，

π

2

]，
∵f（a）=sinα+

3

cosα=2sin（α+

π

3

），
∴α+

π

3

∈[

7π

12

，

5π

6

]，
由y=sinx在[

7π

12

，

5π

6

]上為減函數(shù)，
故當(dāng)α+

π

3

=

5π

6

，即α=

π

2

時(shí)，f（a）取最小值1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線性規(guī)劃，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，和差角公式，是三角函數(shù)與線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，難度中檔．