Question

在長(zhǎng)方體中，，過(guò)，，三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，這個(gè)幾何體的體積為。

（1）證明：直線∥平面;

（2）求棱的長(zhǎng);

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與垂直，如果存在，求線段的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析 （2）4 （3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)推斷出平面平面平面．進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理推斷出∥平面．

設(shè)，進(jìn)而根據(jù)幾何體的體積關(guān)系求得棱柱的體積，進(jìn)而利用體積公式求得．

（3）在平面中作交于，過(guò)作交于點(diǎn)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出，進(jìn)而根據(jù)，推斷出，利用線面垂直的性質(zhì)證明出．通過(guò)∽.利用比例關(guān)系求得，最后利用平方關(guān)系求得．

試題解析：（1）∵是長(zhǎng)方體，

∴平面平面．

∵平面，平面，

∴平面．

（2）【解析】
設(shè)，∵幾何體的體積為，

∴，

即，

即，解得．

∴的長(zhǎng)為4．

（3）在平面中作交于，過(guò)作交于點(diǎn)，則．

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又，

且．

∽.

為直角梯形，且高.

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．