Question

如圖所示，已知橢圓E經過點A(2,3)，對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e＝，斜率為2的直線l過點A(2,3)．

(1)求橢圓E的方程；

(2)在橢圓E上是否存在關于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）＝1

（2）不存在，見解析

【解析】【解析】
(1)設橢圓E的方程為＝1(a＞b＞0)，

由題意e＝＝，＝1，

又∵c2＝a2－b2，

解得：c＝2，a＝4，b＝2，

∴橢圓E的方程為＝1．

(2)假設橢圓E上存在關于直線l對稱的相異兩點P、Q，令P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且PQ的中點為R(x0，y0)．

∵PQ⊥l，

∴kPQ＝＝－，

又∵

兩式相減得：．

∴＝－＝－×(－)＝，

即＝，③

又∵R(x0，y0)在直線l上，

∴y0＝2x0－1，④

由③④解得：x0＝2，y0＝3，

所以點R與點A是同一點，這與假設矛盾，

故橢圓E上不存在關于直線l對稱的相異兩點．