Question

（2009•杭州二模）已知空間任一點O和不共線的三點A，B，C，滿足是“點P位于平面ABC內(nèi)”的（ ）

A.充分但不必要條件

B.必要但不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

Answer 1

C

【解析】

試題分析：要尋求四點A、B、C、D共面的充要條件，自然想到共面向量定理．用 表示出 ，進而用 表示 ，三者的系數(shù)之和為1即可找出答案．

【解析】
已知空間任一點O和不共線的三點A，B，C，滿足是“點P位于平面ABC內(nèi)”的充要條件．證明如下：

（必要性）依題意知，B、C、D三點不共線，

則由共面向量定理的推論知：四點A、B、C、D共面

?對空間任一點O，存在實數(shù)x1、y1，使得 =+x1+y1

=+x1（ ﹣）+y1（ ﹣）

=（1﹣x1﹣y1） +x1+y1，

取x=1﹣x1﹣y1、y=x1、z=y1，

則有 =x +y +z ，且x+y+z=1．

（充分性）對于空間任一點O，存在實數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得 =x +y +z ．

所以x=1﹣y﹣z得 =（1﹣y﹣z） +y +z ．

=+y +z ，即：，

所以四點A、B、C、D共面．

所以，空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：

對于空間任一點O，存在實數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得 =x +y +z ．

故選C．