Question

一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積是________．

Answer 1

πa³
分析：取底面BCD的中心G，CD的中點E，球心O（在線段AG上），作OH⊥AB，垂足為H，并求出有關線段的長，利用Rt△ABG∽Rt△AOH，即可求出球的半徑．
解答：解：取球心O，則O與任一棱的距離即為球的半徑．
如圖，設CD的中點為E，底面的中心為G，
則AG⊥底面BCD，AE=BE=a，
AG=a，AO=a，BG=a，
由Rt△ABG∽Rt△AOH，
∴AB：AO=BG：OH．
∴OH==a．
∴V=πr³=πa³．
故答案為πa³．．
點評：本題考查球與正四面體的六條棱都相切問題，求出球的半徑是解決問題的關鍵．或先求EH，則球的半徑為．