Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比數(shù)列，當(dāng)n≥5時(shí)，a_n＞0．
（1）求證：當(dāng)n≥5時(shí) {a_n}成等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≥5時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（an2+2an-an-12-2an-1），從而an2-an-12=2a_n+2a_n-1，進(jìn)而a_n-a_n-1=2，由此能證明當(dāng)n≥5時(shí)，{a_n}成等差數(shù)列．
（2）由已知推導(dǎo)出a₁=3，a₂=-3，a₃=3，a₄=-3，a₅=3，當(dāng)n≥5時(shí)，a_n=3+（n-5）×2=2n-7，從而當(dāng)1≤n≤5時(shí)，S_n=3×

1-(-1)n

1-(-1)

=

3

2

[1-(-1)n]．當(dāng)n＞5時(shí)，S_n=3+2×

n(n+1)

2

-7（n-5）-2×

5(5+1)

2

=n²-6n+5．

解答： （1）證明：當(dāng)n≥5時(shí)，S_n=

1

4

（a_n²+2a_n-3），
a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（an2+2an-an-12-2an-1），
∴an2-an-12=2a_n+2a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
∵當(dāng)n≥5時(shí)，a_n＞0，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴當(dāng)n≥5時(shí) {a_n}成等差數(shù)列．
（2）解：∵當(dāng)n≥5時(shí)，a_n＞0，∴a₅＞0，
∵4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比數(shù)列，
∴a₁，a₅同號(hào)，∴a₁＞0，
4a1=a12+2a1-3，解得a₁=3或a₁=-1（舍），
3+a₂=S₂=

1

4

(a22+2a2-3)，
解得a₂=5或a₂=-3，
當(dāng)a₂=5時(shí)，同理，得a₃=-5或a₃=7，
由a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比數(shù)列，
得a₃=

a22

a1

=

25

3

，矛盾，故a₂≠5，
當(dāng)a₂=-3時(shí)，得a₃=3，或a₃=-1，
由a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比數(shù)列，
得a₃=

a22

a1

=

9

3

=3，
綜上，a₁=3，a₂=-3，a₃=3，a₄=-3，a₅=3，
由（1）知當(dāng)n≥5時(shí)，{a_n}成首項(xiàng)為3公差為2的等差數(shù)列，
即a_n=3+（n-5）×2=2n-7，
∴a_n=

3•(-1)n-1，(1≤n≤5) 2n-7，n＞5

．
∴當(dāng)1≤n≤5時(shí)，S_n=3×

1-(-1)n

1-(-1)

=

3

2

[1-(-1)n]．
當(dāng)n＞5時(shí)，S_n=3+2×

n(n+1)

2

-7（n-5）-2×

5(5+1)

2

=n²-6n+5．
∴S_n=

3 2 [1-(-1)n]，n≤5 n2-6n+5，n≥6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是難題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．